Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.Фундаментальная система решений. Система уравнений

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения , поэтому .

Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

Если - действительные корни характеристического уравнения, то .

Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле или .

Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то .

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение .

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения . В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений . Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) его n частных решений.
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения . Общее решение y (x ) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Док-во . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y чо (x ) этого уравнения содержится в формуле y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n . Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C 1 , C 2 , …, C n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C 1 , C 2 , …, C n и сравним её с функцией y чо (x ). Функции y (x ) и y чо (x ) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x 0 , следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y чо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n . Осталось доказать, что эта размерность не меньше n .
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Док-во . Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Определение. Определителем второго порядка

(*)

; ;

Теоретически возможны следующие три случая.

1. Если , то система (*) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам, которые называются формулами Крамера: , .

2. Если , а (тогда и ), то система (*) не имеет решений.

3. Если и (тогда и ), то система (*) имеет бесконечное множество решений (а именно, каждое решение одного уравнения системы является и решением другого ее уравнения).

Замечание . Определитель называется главным определителем системы (*). Систему можно решать по формулам Крамера только при условии . В противном случае нужно использовать другие методы, например метод Гаусса.

Определитель третьего порядка. Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными по формулам Крамера

Определение. Определителем третьего порядка называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом:

Пусть дана система уравнений вида (*)

Введем в рассмотрение следующие определители:

– главный определитель системы (*);

; ; .

При решении системы возможны следующие случаи.

1. Если , то система (*) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам, которые называются формулами Крамера: .

2. Если , то решить систему (1) методом Крамера нельзя.

Замечание 1. В случае система может не иметь решений или иметь бесконечное множество решений. Для более детального исследования и нахождения общего системы решения можно использовать, например, метод Гаусса.

Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными

Методом Гаусса

Суть метода Гаусса рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Решить систему уравнений: (*)

Прямой ход. Данная система приводится к треугольному виду поэтапно методом алгебраического сложения.

На первом этапе исключим из второго и третьего уравнений системы слагаемые, содержащие переменную . Лучше использовать в обоих случаях одно и то же уравнение (мы возьмем первое).

Получаем:

Первое уравнение системы перепишем без изменений, а второе и третье уравнения заменим полученными уравнениями.

Система примет вид:

На втором этапе исключим из третьего уравнения системы слагаемое, содержащее переменную . Используем для этого второе уравнение.

Первые два уравнения системы перепишем без изменения, а третье уравнение заменим полученным уравнением.

Получаем систему треугольного вида:

Обратный ход. Последовательно находим неизвестные, начиная с третьего уравнения.

Из третьего уравнения системы находим значение переменной : .

Подставив найденное значение во второе уравнение системы, получаем , откуда находим значение переменной : .

Подставив найденные значения и в первое уравнение системы, получаем , откуда находим значение переменной : .

Ответ: .

22. Решение линейного неравенства

	Примеры
1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то .
4. Если , , то неравенство не имеет решений.	Неравенства и не имеют решений.

23. Решение линейного неравенства

При решении неравенства возможны следующие случаи:	Примеры
1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то неравенство не имеет решений.	Неравенство не имеет решений.
4. Если , , то .

24. Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Система неравенств – это два или большее количество неравенств, для которых ищут общие решения.

Решением системы неравенств называется общее решение всех неравенств, входящих в систему.

Теоретически возможных случаев даже для системы двух неравенств очень много, поэтому рассмотрим основные случаи для системы двух простейших неравенств.

Пример 1 . Решить систему неравенств:

Ответ: .

Пример 2 . Решить систему неравенств:

Изобразим решения неравенств графически.

Ответ: .

Пример 3 . Решить систему неравенств:

Изобразим решения неравенств графически.

Ответ: .

Пример 4. Решить систему неравенств:

Изобразим решения неравенств графически.

Ответ: система не имеет решений.

25. Решение неполных квадратных уравнений , ,

Квадратным уравнением называется уравнение вида , причем.

Квадратное уравнение называется неполным , если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.

Каждое из неполных уравнений можно решить по общей формуле. Но удобнее использовать частные методы.

Случай 1.

Левую его часть можно разложить на множители: . Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем: или , откуда в силу условия следует, что .

Вывод: уравнение всегда имеет два действительных корня , .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение : или , .

Случай 2. Если , то уравнение принимает вид .

Тогда . Поскольку , то .

Если , это уравнение не имеет действительных корней (так как ).

Если , то уравнение имеет два действительных корня .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение : . Так как , , то данное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение : .

Случай 3. Если и , то уравнение принимает вид .

Так как , то , или , поэтому уравнение имеет два равных корня .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение : .

26. Решение приведенного квадратного уравнения

Приведенным квадратным уравнением называется квадратное уравнение , старший коэффициент которого .

Чтобы найти его корни, выделим полный квадрат с переменной x . Получим:

.

Число называется дискриминантом приведенного квадратного уравнения. От знака дискриминанта зависит количество действительных корней уравнения.

Если , то уравнение не имеет действительных корней, так как .

Если , то , , то естьданное уравнение имеет два действительных корня и .

Замечание. Формулу особенно удобно использовать, если коэффициент p является четным числом.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Так как , то , , поэтому .

Тогда , .

Ответ: , .

27. Формулы Виета для приведенного квадратного уравнения

при условии имеет два действительных корня и .

Тогда ,

Таким образом доказана теорема, которая называется теоремой Виета.

Теорема. Если и – корни приведенного квадратного уравнения , то справедливы равенства , .

Эти равенства называются формулами Виета.

Замечание. Формулы Виета справедливы и в том случае, если и уравнение имеет комплексные сопряженные корни.

Пример. В предыдущем параграфе показано, что уравнение имеет корни , . Тогда , .

Так как , , то , .

28. Решение квадратного уравнения

Так как, по определению квадратного уравнения, , то можно разделить на a обе части уравнения. Получим приведенное квадратное уравнение , в котором , . Тогда его корни можно найти по формуле . Получим:

Число называется дискриминантом квадратного уравнения (и дискриминантом квадратного трехчлена ). Дискриминант показывает, сколько действительных корней имеет данное уравнение.

Если , то уравнение имеет два неравных действительных корня и ().

Если , то уравнение имеет два равных действительных корня .

Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Замечание. В этом случае уравнение имеет два комплексных сопряженных корня

и .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Так как , (тогда ), , то

Так как , то .

Тогда , .

Ответ: , .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как , , , то .

Так как , то данное уравнение не имеет действительных корней.

29. Решение квадратных неравенств

, , ,

с положительным дискриминантом

сведением к системе двух линейных неравенств

Дискриминант квадратного трехчлена -- это число .

Корнями квадратного трехчлена называются корни уравнения .

и , причем (значит ).

Тогда его можно разложить на линейные множители: .

Так как , то можно разделить на a обе части каждого из рассматриваемых неравенств (если , знак неравенства (то есть знак > или <) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: , , , . Рассмотрим решение этих неравенств.

1) Произведение двух множителей положительно, если оба множителя положительные или оба множителя отрицательные, поэтому , если или .

Решения обеих систем являются решениями данного квадратного неравенства.

Так как , то (тогда ).

Так как , то (тогда ).

Ответ: неравенство

имеет множество решений, которое можно записать в виде или или в виде .

3) Произведение двух множителей отрицательно, если один из множителей положительный, а другой отрицательный. Поэтому , если или .

Так как , то .

Эта система неравенств не имеет решений, так как число x не может быть одновременно меньше меньшего из двух чисел и , и больше большего из них.

Ответ: неравенство

2) Аналогично получаем, что неравенство имеет множество решений, которое можно записать в виде или в виде .

Пример. Решить неравенство .

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена , то есть корни уравнения : ,

, .

Разложив левую часть данного неравенства по формуле , получаем неравенство .

Так как , то, разделив обе части последнего неравенства на 3, получаем равносильное ему неравенство .

Произведение двух множителей отрицательно, если один из множителей положительный, а другой отрицательный. Поэтому решениями последнего неравенства являются решения каждой из систем неравенств если или . Тогда или

Графическое решение систем представлено на рисунках (для первой системы рисунок слева, для второй справа). Видно, что вторая система решений не имеет, поэтому решениями данного неравенства являются только решения первой системы.

Ответ:

30. Решение квадратных неравенств

, , ,

с использованием графика квадратичной функции

Замечание. Можно считать, что во всех этих неравенствах . В противном случае, умножив обе части неравенства на и поменяв знак неравенства на противоположный, мы получим неравенство одного из указанных четырех видов, равносильное данному.

Тогда графиком функции будет парабола, ветвь которой направлена вверх. Расположение этой параболы относительно оси абсцисс зависит от знака дискриминанта квадратного трехчлена . Возможны 3 случая.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Случай 1. Если , то квадратный трехчлен имеет два действительных корня и , причем . Тогда парабола пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами и . Для строгих неравенств и числа и изображаются незакрашенными кружочками (как на рис.1). Для нестрогих неравенств и числа и изображаются закрашенными кружочками. В этом случае: и не имеет действительных корней. Тогда парабола не имеет общих точек с осью абсцисс (см. Рис. 3). В этом случае:x разбивают ось абсцисс на 3 интервала (см. рис. 1). и

В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел записанных в виде квадратной таблицы (матрицы) по два в строках и по два в столбцах. Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число , обозначаемое так:

Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами, при этом говорят, что элементы составляют главную диагональ определителя, а элементы - его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях.

Пример 1. Вычислить следующие определители второго порядка:

Решение, а) По определению имеем

С помощью определителей можно равенства (66.6), (66.7) и (66.8) переписать, поменяв местами их части, так:

Заметим, что определители весьма просто составляются по коэффициентам системы (66.2).

Действительно, определитель составляется из коэффициентов при неизвестных в этой системе. Он называется главным определителем системы (66.2). Назовем определителями для неизвестных х и у соответственно. Можно сформулировать следующее правило их составления: определитель для каждой из неизвестных получается из главного определителя, если в нем столбец коэффициентов при этой неизвестной заменить столбцом свободных членов (взятых из правых частей уравнений системы).

Пример 2. Систему (66.12) решить с помощью определителей.

Решение. Составляем и вычисляем главный определитель данной системы:

Теперь в нем заменим столбец коэффициентов при х (первый столбец) свободными членами. Получим определитель для х:

Подобным же образом найдем

Отсюда по формулам (66.11) получаем

Мы пришли к уже известному нам решению (1, -1).

Проведем теперь исследование системы линейных уравнений (66.2). Для этого вернемся к равенствам (66.9) и (66.10) и будем различать два случая:

Пусть Тогда, как уже отмечалось, формулы (66.11) дают единственное решение системы (66.2). Итак, если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами (66.11); такая система называется определенной.

2) Пусть теперь . В зависимости от значений будем различать два случая.

а) Хотя бы один из определителей отличен от нуля; тогда система (66.2) не имеет решений. Действительно, пусть, например, . Равенство (66.9) не может удовлетворяться ни при каком значении так как это равенство получено как следствие системы (66.2), то система не имеет решений. Такая система называется несовместной.

б) Оба определителя равны нулю; равенства (66.9) и (66.10) удовлетворяются тождественно и для исследования системы (66.2) использованы быть не могут.

Докажем, что если и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в системе (66.2) отличен от нуля, то система имеет бесконечнее множество решений. Чтобы убедиться в этом, допустим, например, что . Из соотношений

и из записи второго уравнения системы (66.2), подставляя в него выражения коэффициентов

найдем, что оно отличается от первого уравнения лишь множителем т. е., по существу, совпадает с ним (равносильно ему). Система (66.2) сводится к одному лишь первому уравнению и определяет бесчисленное множество решений (такая система называется неопределенной). Возможен, в принципе, и такой крайний случай, как равенство нулю всех коэффициентов при неизвестных (он может встретиться при исследовании систем с буквенными коэффициентами). У такой системы

все определители равны нулю: однако, она является несовместной при или .

Подведем итоги исследования системы линейных уравнений (66.2). Имеется три вида таких систем:

1) Если , то система определенная, имеет единственное решение (66.11).

2) Если , но то система несовместна, решений не имеет.

3) Если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля), то система неопределенная, имеет бесконечное множество решений (сводится к одному уравнению).

Равенство нулю определителя,

означает пропорциональность элементов, стоящих в его строках (и обратно):

В силу этого признаки, отличающие линейные системы разных типов (определенные, неопределенные, несовместные), могут быть сформулированы в терминах пропорций между коэффициентами системы (без привлечения определителей).

Условие заменяется поэтому требованием пропорциональности (непропорциональности) коэффициентов при неизвестных:

В случае оказываются пропорциональными не только коэффициенты при неизвестных, но и свободные члены:

(эти пропорции получаются, например, из (67.6)). Если же, например, ДО, то из (66.6) видим, что - свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных. Итак:

1) Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:

то система определенная.

2) Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:

то система несовместная.

3) Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и свободные члены:

то система неопределенная.

Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение вида (38.4) определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы (66.2) можно поэтому истолковать как уравнения двух прямых на плоскости, а задачу решения системы - как задачу об отыскании точки пересечения этих прямых.

Ясно, что возможны три случая: 1) данные две прямые пересекаются (рис. 61, а); этот случай отвечает определенной системе; 2) данные две прямые параллельны (рис. 61, б); этот случай соответствует несовместной системе;

3) данные прямые совпадают (рис. 61, в); этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.

Пример 3. Исследовать линейные системы:

Решение, а) Составим и вычислим главный определитель данной системы.